شرح روش المان محدود
معرفی المان محدود
به طور ساده می توان گفت که روش المان محدود عبارت است از تقسیم قطعه به تعداد زیادی از المانهای کوچکتر و یا به عبارتی شبکه بندی مدل با المانهای مثلثی، مربعی و … که شکل ساده تری نسبت به شکل کلی قطعه دارند. در این حالت حل ریاضی و کنترل تک تک المانها امکان پذیر میباشد. سپس به کمک این روش، حل یک مسئله پیچیده به حل مجموعه بسیار زیادی از معادلات نسبتاً ساده و مشابه تبدیل میشود. بدیهی است که برای حل مجموعه بسیار زیادی از معادلات مشابه که دارای هزاران مجهول نیز میباشند، استفاده از کامپیوتر لازم و ضروری است.
در ادامه مراحل انجام یک تحلیل المان محدود شده است :
۱) مدلسازی هندسی
با توجه به نوع سازه یا قطعه میتوان مدل هندسی را از ترکیب نقاط، خطوط، سطوح و احجام بدست آورد. مدل هندسی هیچ گونه ارزش محاسباتی ندارد و محاسبات فقط بر روی گره ها و المانها انجام خواهد شد. در اغلب نرم افزارهای المان محدود می توان مدل هندسی را توسط خود نرم افزار ایجاد نمود یا اینکه مدل هندسی ساخته شده در یک محیط نرم افزاری دیگر را فراخوانی نمود.
۲) انتخاب نوع المان و المان بندی مدل
انتخاب نوع المان و نحوه المان بندی تاثیر بسیار زیادی در نتایج بدست آمده تحلیل دارند. بطور کلی هرچه قدر المانهای دو یا سه بعدی، بیشتر مربعی شکل باشند و انطباق گره های المانها بر روی المانهای مجاورشان بیشتر رعایت گردد، نتایج بهتر و دقیق تری بدست خواهد آمد.
۳) انتخاب یک تابع تغییرمکان
تابع تغییرمکان هر المان با استفاده از مقادیر گرهای المان تعریف میشود . این تابع تغییر مکان ، تابع شکل (Shape Function) یا تابع انترپولاسیون (Interpolation Function) نام دارد.
۴) تعریف روابط کرنش – تغییرمکان و تنش – کرنش
در حالت یک بعدی روابط زیر حاکم می باشد :
رابطه کرنش – تغییر مکان εx = du / dx
رابطه تنش – کرنش σx = Eεx
۵) بدست آوردن ماتریس سختی اعضا و معادلات آنها
برای بدست آوردن ماتریسهای سختی از چندین روش می توان استفاده کرد. با استفاده از هر یک از این روشها، معادلات حاکم بر رفتار یک المان به صورت زیر بدست می آید:
یا :
که در آن :
= f بردار و نیروهای گره ای المان،
= [k]e ماتریس سختی المان،
= {d} e بردار درجات آزادی گره ای مجهول المان و
= n تعداد درجات آزادی گره ای المان) تغییرمکانهای گره ای ) می باشند.
۶) ترکیب کردن معادلات المان و بدست آوردن معادلات کلی سازه و اعمال شرایط مرزی
با استفاده از روی هم گذاری ماتریسهای سختی المانها، ماتریس سختی کلی سازه بدست می آید :
معادله عمومی سازه بدین شکل صورت میگیرد :
{F}= [K]{d}
که در این معادلات :
= {F} بردار نیروهای گره ای کل سازه،
= [K] ماتریس سختی کل سازه
و = {d} بردار درجات آزادی گره ای یا تغییرمکانهای عمومی کل سازه می باشند.
۷) حل معادلات حاکم برای درجات آزادی (تغییر مکانهای عمومی) مجهول
در این مرحله معادله عمومی کل سازه به روش گاوس یا گاوس سایدل با روشهای دیگر حل می شود و تغییر مکانهای di محاسبه می شوند.
۸) حل برای کرنشها و تنشهای المان
با استفاده از di های محاسبه شده در مرحله قبل و همچنین با استفاده از معادلات کرنش- تغییر مکان و تنش- کرنش، مقدار تنشها و کرنشها برای تمام المانها محاسبه می شوند.
درس المان محدود از دروس عمومی بین همهی رشته های مهندسی و تحلیلی است که کاربرد زیادی در علوم دارد که به نوعی یک روش تحلیلی برپایهی تکرار است. از مهمترین نرمافزار هایی که در رشتهی مکانیک برای المان محدود کاربرد دارد متلب و آباکوس است.
بدون دیدگاه